指数函数单调性证明

1. 指数函数单调性证明

是一定要按照定义来做呢？还是可以化为已知单调性的函数来做？
先求定义域：
分母不能为0，所以3^x-1≠0，3^x≠1，x≠0
所以f（x）的定义域分为两个分开的区间（-∞，0）和（0，+∞），在这两个区间里面分别讨论。
f（x）=（3^x+1）/（3^x-1）
=1+（2/（3^x-1））
当x∈（-∞，0）时
3^x-1＜0，且单调递增
所以2/（3^x-1）＜0，且单调递减。
所以f（x）=1+（2/（3^x-1））＜1，且单调递减。
当x∈（0，+∞）时
3^x-1＞0，且单调递增。
所以2/（3^x-1）＞0，且单调递减。
所以f（x）=1+（2/（3^x-1））＞1，且单调递减。
所以f（x）在两个开区间（-∞，0）和（0，+∞）内各自都是单调递减函数。

注意：f（x）只是在两个开区间（-∞，0）和（0，+∞）内各自都是单调递减函数。，但是在整个定义域内，不是单调递减函数，因为如果取x1＜0，x2＞0，很明显，x1＜x2
那么f（x1）＜1＜f（x2）
所以在整个定义域内，不是单调递减函数，这也就是你在整个定义域范围内，用定义法无法证明其单调性的原因。此外3^x表示3的x次方，电脑没法把x打到上标去。

2. 用定义法证明指数函数的单调性

假设y=a^x中a>1,对于任意的m,n属于R，m<n
f(n)-f(m)=a^n-a^m=a^m[a^(n-m)-1]
因为a>1,n>m,即n-m>0,所以a^(n-m)>1
即a^(n-m)-1>0
又因为a^m>0
所以f(n)-f(m)>0
即得到y=a^x当a>1时在R上为增函数，同理可以证明a<1的情况

3. 如何求指数函数的单调性？

令x1<x2
y1=5^x1>0
y2=5^x2>0
y1/y2
=5^x1/5^x2
=5^(x1-x2)   
 因为x1<x2      所以 x1-x2<0      5^(x1-x2)<1
所以   y1<y2
根据增函数定义可知
y=5 上标x次方，在定义域内为增函数
指数函数用定义证明单调性，一般做商，之后再与1比较大小

4. 指数函数单调性的严格证明

对a^x，a
>
0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n
=
a
*
a
*
...
*
a
（n
>
0，下同）（n个a相乘）
a^0
=
1
a^(-n)
=
1
/
a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1
/
n)
=
a的n次算术根，
a^(p
/
q)
=
(a^p)的q次算术根，其中p
/
q是既约分数.
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p
/
q)的单调性。事实上，对a^(p1
/
q1)和a^(p2
/
q2)，可以把分数p1
/
q1和p2
/
q2通分，这样分母相同，设分别是p1'
/
q，
p2'
/
q。现在就是在比以a^(1
/
q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a
>
1时，a^(1
/
q)
>
1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a
<
1时，也能证出函数是严格单调减的

5. 指数函数单调性的严格证明

证：设f(x)=a的x次，a＞0，x∈R
f‘（x）=a的x次方*lna
①如果a＞1，则lna＞0，此时f’（x）＞0，指数函数单调递增
②如果a＜1，则lna＜0，此时f‘（x）＜0，指数函数点掉递减
证毕

6. 指数函数单调性证明

注意:(-∞，0)和(0，+∞)不能“∪”起来哦。

7. 指数函数单调性的严格证明

证：设f(x)=a的x次,a＞0,x∈R
  f‘（x）=a的x次方*lna
  ①如果a＞1,则lna＞0,此时f’（x）＞0,指数函数单调递增
  ②如果a＜1,则lna＜0,此时f‘（x）＜0,指数函数点掉递减
  证毕

8. 指数函数的单调性

首先，y＝a^x是指数函数，我们一般讨论a>0，且a≠1的情况。

当指数α是负整数时，设α=-k，则，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点：
一是有可能作为分母而不能是0。
一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。

单调区间：
当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性。
①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。
②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性。