已知概率密度f=2-x-y,求z=x+y 的概率密度 求详解

1. 已知概率密度f=2-x-y,求z=x+y 的概率密度 求详解

使用卷积公式
fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(-∞,+∞)(2-z)dx=2-z,0<z<2
其他为0
当0<z<1时，
因为0<y<1
0<z-x<1,所以0<x<z
fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(0,z)(2-z)dx=z(2-z) ,0<z<1
当1<=z<2时，
同样0<z-x<1,
1>x>z-1
fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(z-1,1)(2-z)dx=(2-z)² ,1<=z<2

2. f(x,y)={2-x-y, 0<x<1,0<y<1 0, 其他， 求Z=X+Y的概率密度函数

解：使用卷积公式
fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(-∞,+∞)(2-z)dx=2-z,0<z<2
其他为0
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3. 概率论Z=X+Y分布课本上讲的疑惑

Fz(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=∫∫f(x,y)dxdy(X，Y是两个独立的随机变量)-->=∫∫f(x)f(y)dxdy
X，Y是两个独立的随机变量--->fx(x)=f(x)，fy(y)=f(y),

4. 概率论Z=X+Y分布课本讲解的疑惑

注意到X，Y是两个独立的随机变量，X，Y的联合分布概率密度f(x,y)=fx(x)fy(y)
故：P{X+Y≤z}=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫fx(x)fy(y)dxdy（积分范围x+y≤z）

5. 设二位随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=2-x-y,0<x<1,0<y<1，0，其他，求Z=X+Y的概率密度函数

解：使用卷积公式 
f(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx
= z(2-z), 0 =< z < 1;
= (2-z)^2, 1 =< z< 2;
= 0, 其他 
0<z<1时，因为 0<y<1, 0<z-x<1, 所以 0<x<z.
f(z) = ∫ (-∞,+∞) f(x,z-x)dx
= ∫(0,z) (2-z)dx
= z(2-z), 0<z<1.
当1 x > z-1,
f(z) = ∫ (-∞,+∞) f(x,z-x)dx
= ∫ (z-1,1) (2-z)dx = (2-z)^2, 1 =< z < 2.

6. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=x+y,0<x<1,0<y<1;0,其他。 求:Z=X+Y的概率密度。

f(z) = ∫(-∞，+∞)f(x,z-x)dx
所以，要求积分，先要求出积分上下限。
根据题目条件，可以求出，0<x<1,0<z-x<1，进而求出积分区域为0<x<1,x<z<x+1，画出区域的图像，可以发现积分区域要分为两块，分别是0<z<1时，x在(0,z)上积分；1<z<2时，x在(z-1,1)上积分。
故f(z)=∫(0,z)zdx = z²
   f(z)=∫(z-1,1)zdx=2z-z²
所以，f(z) = z²，      0<z<1；
           2z-z²，    1<z<2；
           0，       其它。 

（注意楼上是错误的，XY不独立，不能用卷积公式）

7. 求Z=(X+Y)的概率密度

F(z)=P{Z1)dy[∫(0->2z-y)e^(-(x+y))dx]
=1-e^(-1)-e^(-2z), z>0

所以f(z)=F'(z)=2e^(-2z), z>0
                                  0,   其他

8. 卷积公式的用法

卷积在工程和数学上都有很多应用：
1、统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
2、概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
3、声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
4、电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
5、物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
扩展资料卷积的应用
在提到卷积之前, 重要的是要提到卷积出现的背景。卷积发生在信号和线性系统的基础上, 也不在背景中发生, 除了所谓褶皱的数学意义和积分 (或求和、离散大小) 外, 将卷积与此背景分开讨论是没有意义的公式。
信号和线性系统, 讨论信号通过线性系统 (即输入和输出之间的数学关系以及所谓的通过系统) 后发生的变化。
所谓线性系统的含义是, 这个所谓的系统, 产生的输出信号和输入信号之间的数学关系是一个线性计算关系。
因此, 实际上, 有必要根据我们需要处理的信号形式来设计所谓的系统传递函数, 那么这个系统的传递函数和输入信号, 在数学形式上就是所谓的卷积关系。
卷积关系的一个重要案例是信号和线性系统或数字信号处理中的卷积定理。
利用该定理, 时域或空间域的卷积运算可以等价于频域的乘法运算, 从而通过使用快速算法, 实现有效的计算, 节省计算成本, 从而节省计算成本。
参考资料来源：百度百科——卷积公式